LinearEyeDepth推导

转自 冯乐乐 《unity shader 入门精要》 :https://blog.csdn.net/linuxheik/article/details/79446780/

Unity 从相机空间 通过透视投影变换（裁剪矩阵）后到裁剪空间，然后通过透视除法变换到归一化的设备坐标（Normalized Device Coordinates, NDC）,然后转换到视口坐标 。

z 分量从ndc [-1,1]到屏幕坐标[0,1]的映射方法：

其中，d对应了深度纹理中的像素值，Z_ndc对应了NDC坐标中的z分量的值。

透视变换

正交变换

推导

参考:透视投影变换推导 , 屏幕空间变换

根据前面透视投影变换推导和屏幕空间变换，我们使用透视投影的裁剪矩阵P_clip对相机空间下的一个顶点进行变换，裁剪空间下顶点的z分量和w分量分别为：

其中，Far 和 Near 分别是远近裁剪平面的距离。然后，我们通过齐次除法就可以得到NDC下的z分量：

之前我们知道，深度纹理中的深度值是 通过下面的公式由NDC计算而得的：

由上面的这些式子，我们可以推导出用d表示而得的Z_visw的表达式：

d=0.5((f+n)/(f-n) +2nf/((f-n)z))+0.5

d-0.5=0.5((f+n)/(f-n) +2nf/((f-n)z))

2d-1=((f+n)/(f-n) +2nf/((f-n)z))

2d-1=(((f+n)z +2nf)/((f-n)z))

(f+n)z+2nf=(2d-1)(f-n)z

(2d-1)(f-n)z-(f+n)z=2nf

((2d-1)(f-n)-(f+n))z=2nf

z=2nf/((2d-1)(f-n)-(f+n))

z=2nf/(2d(f-n)-(f-n)-(f+n))

z=2nf/(2d(f-n)-2f)

z=nf/(d(f-n)-f)

z=1/((f-n)d/(nf)-1/n)

由于在Unity使用的视角空间中，摄像机正向对应的z值均为负值，因此为了得到深度值的正数表示，我们需要对上面的结果取反，最后得到的结果如下：

它的取值范围就是视锥体深度范围，即[Near,Far]。如果我们想要得到范围在[0, 1]之间的深度值，只需要把上面得到的结果除以Far即可。这样，0就表示该点与摄像机位于同一位置，1表示该点位于视锥体的远裁剪平面上。结果如下：

运的是，Unity提供了两个辅助函数来为我们进行上述的计算过程 LinearEyeDepth 和 Linear01Depth:

• LinearEyeDepth 负责把深度纹理的采样结果转换到视角空间下的深度值，也 就是我们上面得到的Z_visw。
• Linear01Depth 则会返回一个范围在[0, 1]的线性深度值，也就是我们上面得到的Z₀₁，这两个函数内部使用了内置的 _ZBufferParams 变量来得到远近裁剪平面的距离。

LinearEyeDepth 方法和 Linear01Depth 方法：

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// Z buffer to linear depth
inline float LinearEyeDepth( float z )
{
return 1.0 / (_ZBufferParams.z * z + _ZBufferParams.w);
}


// Z buffer to linear 0..1 depth (0 at eye, 1 at far plane)
inline float Linear01Depth( float z )
{
return 1.0 / (_ZBufferParams.x * z + _ZBufferParams.y);
}


//其中_ZBufferParams的定义如下：
//double zc0, zc1;
// OpenGL would be this:
// zc0 = (1.0 - m_FarClip / m_NearClip) / 2.0;
// zc1 = (1.0 + m_FarClip / m_NearClip) / 2.0;
// D3D is this:
//zc0 = 1.0 - m_FarClip / m_NearClip;
//zc1 = m_FarClip / m_NearClip;
// now set _ZBufferParams with (zc0, zc1, zc0/m_FarClip, zc1/m_FarClip);

• _ZBufferParams 参数：(1-Far/Near, Far/Near, x/Far, y/Far)

使用